石墨烯 | 石墨烯量子霍尔效应和Berry相的实验观察

全文概述

当电子被限制在二维材料中时，可以观察到量子力学增强的输运现象，例如量子Hall效应。石墨烯由孤立的单原子石墨层组成，是这种二维系统的理想模型。然而，它的行为预计将明显不同于传统半导体界面中量子阱的充分研究情况。这种差异源于石墨烯独特的电子性质，它在电荷中性点附近表现出电子-空穴简并和消失的载流子质量。事实上，理论上已经预测到了一种独特的半整数量子Hall效应，正如电子波函数的非零Berry相位（几何量子相位）的存在一样——这是石墨烯能带结构特殊拓扑结构的结果。石墨结构的微机械提取和制造技术的最新进展现在允许对这种奇异的二维电子系统进行实验探测。来自Columbia University （现已就职Harvard University）的Philip Kim教授报告了高迁移率单层石墨烯中磁输运的实验研究。利用电场效应调整化学势，作者观察到石墨烯中电子和空穴载流子都存在不寻常的半整数量子Hall效应。磁振荡证实了Berry相位与这些实验的相关性。除了它们纯粹的科学兴趣之外，这些不寻常的量子输运现象可能会导致碳基电子和磁电子器件的新应用。相关内容于2005年以Experimental observation of the quantum Hall effect and Berry’s phase in graphene为题发表在Nature (IF=64.8)上。该文的第一作者是现任复旦大学物理学系教授的张远波博士。

图文解析

石墨烯的低能带结构可以近似为位于两个不等价Brillouin区角的锥体（图1a，左插图）。在这些锥体中，二维（2D）能量色散关系是线性的，电子动力学可以被视为“相对论的”，其中石墨烯的Fermi速度v_F代替了光速。特别是，在锥体的顶点（称为Dirac点），电子和空穴（粒子和反粒子）简并。利用2 + 1维量子电动力学的类比，从理论上研究了该系统中电子在垂直磁场B下的Landau能级（Landau-Level: LL）形成，其中LL能量由

E_n=sgn(n)√(2eℏv_F²|n|B) (1)

这里e和ℏ = h/2π是电子电荷和Planck常数除以2π，整数n代表类电子（n > 0）或类空穴（n < 0）的LL指数。至关重要的是，还会出现n = 0和E₀ = 0的单个LL。当仅占据低位LL（|n| < 10⁴ for B = 10 T）时，E_n的分离比Zeeman自旋分裂大得多，因此每个LL都有一个简并g_s = 4，解释了自旋简并和亚晶格简并。先前对由几层石墨烯组成的介观石墨样品的研究显示了与由电场效应调谐的类电子和类空穴载流子形成LL相关的磁振荡。然而，在这些样品中没有观察到量子Hall效应（QHE），这可能是由于它们的低迁移率和/或样品的残余三维性质。

Figure 1:Resistance, carrier density, and mobility of graphene measured at 1.7 K at different gate voltages.
图1：在1.7 K不同栅极电压下测量的石墨烯的电阻、载流子密度和迁移率。

a, Changes in resistance as a function of gate voltage in a graphene device shown in the optical microscope image in the right inset. The position of the resistance peaks varies from device to device, but the peak values are always of the order of 4 kΩ, suggesting a potential quantum-mechanical origin. The left inset shows a schematic diagram of the low-energy dispersion relation near the Dirac points in the graphene Brillouin zone. Only two Dirac cones are nonequivalent to each other, producing a twofold valley degeneracy in the band structure. b, Charge carrier density (open circles) and mobility (filled circles) of graphene as a function of gate voltage. The solid line corresponds to the estimated charge induced by the gate voltage, n_s = C_gV_g/e, assuming a gate capacitance C_g of 115 aF µm^-2 obtained from geometrical considerations.

a，右侧插图中光学显微镜图像所示的石墨烯器件中电阻随栅极电压的变化。电阻峰值的位置因器件而异，但峰值总是在4 kΩ的数量级，这表明潜在的量子力学起源。左图显示了石墨烯Brillouin区Dirac点附近的低能色散关系示意图。只有两个Dirac锥彼此不等价，在能带结构中产生双重谷简并。b，石墨烯的电荷载流子密度（空心圆）和迁移率（实心圆）是栅极电压的函数。实线对应于栅极电压感应的估计电荷，n_s = C_gV_g/e，假设从几何考虑获得的栅极电容C_g为115 aF µm^-2。

他们实验中使用的高迁移率石墨烯样品是从具有300 nm SiO₂涂层的简并掺杂Si晶片上的Kish石墨（Toshiba Ceramics）中提取的，通过使用类似于微机械剥离。与原子力显微镜轮廓交叉相关的干涉诱导的颜色偏移使他们能够从样品的光学图像中识别沉积的石墨烯层的数量。在选择了合适的石墨烯样品后，电子束光刻然后热蒸发Au/Cr（分别为30 nm和5 nm）定义了用于输运测量的多个电极（图1a，右插图）。利用Hall棒型电极结构，测量磁电阻R_xx和Hall电阻R_xy。向Si衬底施加栅极电压V_g控制石墨烯样品中的电荷密度。

图1a显示了横向尺寸为∼3 µm的典型石墨烯器件中R_xx在零磁场下的栅极调制。在高载流子密度下，R_xx保持在 ∼100-Ω范围内，而在V_g ≈ 0时，在∼4 kΩ处观察到一个尖锐的峰值。虽然不同的样品显示出略有不同的峰值和峰位置，但在他们测量的其他三个石墨烯样品中观察到了类似的行为。当E_F接近字形的Dirac点时，这种尖峰的存在与载流子密度的降低是一致的，在该点处，态密度消失。因此，对应于电荷中性Dirac点V_Dirac的栅极电压可以从该峰值位置确定。单独的Hall测量提供了样品的片状载流子密度n_s和迁移率µ的测量，如图1b所示，假设为简单的Drude模型。n_s的符号在V_g = V_Dirac处发生变化，表明E_F 确实穿过电荷中性点。对于整个栅极电压范围，迁移率高于10⁴ cm² V^-1 s^-1 ，大大超过了之前研究的石墨烯样品的质量。

异常高迁移率的石墨烯样品使得能够研究极端磁量子极限下的输运现象，如QHE。图2a展示了在固定栅极电压V_g > V_Dirac下作为磁场B的函数的图1样品的R_xy和R_xx。总的正R_xy表明贡献主要来自电子。在强磁场下，R_xy(B)表现出平台，R_xx消失，这是QHE的标志。在QHE特征在较低磁场下转变为Shubnikov de Haas（SdH）振荡之前，观察到至少两个定义明确的平台，其值为(2e²/h)^-1 和(6e²/h)^-1，随后是发展中的(10e²/h)^-1平台。前两个平台的R_xy量化优于1/10⁴，在仪器不确定度内精确。他们观察到具有负R_xy值的孔的等效QHE特征（图2a，插图）。或者，可以通过固定磁场和改变Dirac点上的V_g来探测电子和空穴中的QHE。在这种情况下，随着V_g的增加，第一空穴（V_g < V_Dirac）和后来的电子（V_g > V_Dirac）填充连续的朗道能级，并表现出QHE。这产生图2b中的R_xy (R_xx)的反对称（对称）图案，其中R_xy量化根据

R_xy^-1 = ±g_s(n+1/2)e²/ h  (2)

其中n是非负整数，± 分别代表电子和空穴。这个量化条件可以用通常的QHE语言翻译成量化填充因子v = ± g_s(n + 1/2)。此外，在Dirac点附近还形成了一个振荡结构。尽管这种结构对于任何给定的样品都是可再现的，但其形状因器件而异，这表明潜在的介观效应取决于样品几何形状的细节。虽然已经在许多2D系统中观察到QHE，但是在石墨烯中观察到的QHE明显不同于那些“传统的”QHE，因为量子化条件（方程（2））移动了半个整数。这些不寻常的量子化条件是字形的拓扑异常电子结构的结果，将在下面进一步讨论。

Figure 2:Quantized magnetoresistance and Hall resistance of a graphene device.
图2：石墨烯器件的量子化磁阻和Hall电阻。

a, Hall resistance (black) and magnetoresistance (red) measured in the device in Fig. 1 atT = 30 mK and V_g = 15 V. The vertical arrows and the numbers on them indicate the values of B and the corresponding filling factor ν of the quantum Hall states. The horizontal lines correspond to h/e²ν values. The QHE in the electron gas is shown by at least two quantized plateaux in R_xy, with vanishing R_xx in the corresponding magnetic field regime. The inset shows the QHE for a hole gas at V_g = -4 V, measured at 1.6 K. The quantized plateau for filling factor ν = 2 is well defined, and the second and third plateaux with ν = 6 and ν = 10 are also resolved. b, Hall resistance (black) and magnetoresistance (orange) as a function of gate voltage at fixed magnetic field B = 9 T, measured at 1.6 K. The same convention as in a is used here. The upper inset shows a detailed view of high-filling-factor plateaux measured at 30 mK. c, A schematic diagram of the Landau level density of states (DOS) and corresponding quantum Hall conductance (σ_xy) as a function of energy. Note that, in the quantum Hall states, σ_xy= –R_xy^-1. The LL index n is shown next to the DOS peak. In our experiment the Fermi energy E_F can be adjusted by the gate voltage, and R_xy^-1 changes by an amount g_se²/h as E_F crosses a LL.

a，在图1中的器件中在T = 30 mK和V_g = 15 V时测量的Hall电阻（黑色）和磁电阻（红色）。垂直箭头和上面的数字表示量子Hall态的B值和相应的填充因子ν。水平线对应于h/e²ν值。电子气中的QHE由R_xy中的至少两个量子化平台表示，R_xx在相应的磁场区域中消失。插图显示了在1.6 K下测量的V_g = -4 V时空穴气体的QHE很好地定义了填充因子ν = 2的量子化平台，并解析了ν = 6和ν = 10的第二和第三平台。b，Hall电阻（黑色）和磁阻（橙色）作为固定磁场B = 9 T下栅极电压的函数，在1.6 K下测量。这里使用与a中相同的条件。上面的插图显示了在30 mK下测量的高填充因子平台的详细视图。c，Landau能级态密度（DOS）和相应的量子Hall电导（σ_xy）作为能量函数的示意图。注意，在量子Hall态中， σ_xy = –R_xy^-1。LL指数n显示在DOS峰值旁边。在他们的实验中，Fermi能量E_F可以通过栅极电压来调节，当E_F穿过LL时，R_xy^-1改变g_se²/h的量。

量子Hall平台的半整数倍数序列已经被几种理论预测出来，这些理论将“相对论性”Landau能级与石墨烯的粒子—空穴对称性结合起来。这可以容易地从图2c所示的计算的LL谱（方程（1））中理解。在这里，作者绘制了LLs的g_s重简并（自旋和亚晶格）的态密度和量子Hall机制中相应的Hall电导（σ_xy = –R_xy^-1，对于R_xx → 0）作为能量的函数。当E_F（由V_g调谐）落在LL之间时，σ_xy表现出QHE平台，当E_F穿过LL时，σ_xy跳跃一定量的g_se²/h。时间反转不变性保证了粒子—空穴对称性；σ_xy因此是Dirac点上能量的奇数函数。然而，在石墨烯中，n = 0 LL是稳健的，即无论磁场如何，E₀ = 0，前提是亚晶格对称性保持不变。因此，R_xy^-1的电子和空穴的第一平台正好位于± g_se²/2h。当E_F穿过下一个电子（空穴）LL时，R_xy^-1增加（减少）g_se²/h的量，这产生方程（2）中的量子化条件。

ΔR_xx=R(B,T)cos[2π(B_F/B+1/2+β)] (3)

这里R(B,T)是SdH振荡振幅，B_F 是1/B中SdH振荡的频率，β是相关的Berry相位，在0 < β < 1的范围内。Berry相位 β = 0（或者，等价地， β = 1）对应于平凡情况。偏离这个值表示β = 1/2的新物理学，暗示Dirac粒子的存在。实验上，半经典区域中的这种相移可以从SdH扇形图的分析中获得，其中R_xx中第n个最小值的1/B_n的值序列相对于它们的指数n绘制（图3b）。数据与n指数轴的线性拟合截距产生取整数的Berry相位。所得的β非常接近0.5（图3b，上插图），提供了石墨烯中存在非零Berry相和Dirac粒子存在的进一步表现。这种非零Berry相在以前的几层石墨样品中没有观察到，尽管在早期对大块石墨的测量中有相移的迹象。他们关于石墨烯的数据为固态系统中的这种效应提供了无可争议的证据。

Figure 3:Temperature dependence and gate-voltage dependence of the SdH oscillations in graphene.
图3：石墨烯中SdH振荡的温度依赖性和栅极电压依赖性。

a, Temperature dependence of the SdH oscillations at V_g = -2.5 V. Each curve represents R_xx(B) normalized to R_xx(0) at a fixed temperature. The curves are in order of decreasing temperature, starting from the top, as indicated by the vertical arrow. The corresponding temperatures are shown in the left inset, which represents the SdH oscillation amplitude A divided by temperature measured at a fixed magnetic field. The standard SdH fit yields the effective mass. The right inset is a plot of the effective mass obtained at different gate voltages. The broken line is a fit to the single-parameter model described in the text, which yields v_F = 1.1 × 10⁶ m s^-1, in reasonable agreement with published values. b, A fan diagram for SdH oscillations at different gate voltages. The location of 1/B for the nth minimum (maximum) of R_xx, counting from B = B_F, plotted against n (n + 1/2). The lines correspond to a linear fit, in which the slope (lower inset) indicates B_F and the n-axis intercept (upper inset) provides a direct probe of Berry’s phase in the magneto-oscillation in graphene. The error bars indicate the standard deviation of fitting errors.

a，V_g = -2.5 V时SdH振荡的温度依赖性。每条曲线代表在固定温度下归一化为R_xx(0)的R_xx(B)。曲线按照温度递减的顺序排列，从顶部开始，如垂直箭头所示。相应的温度显示在左边的插图中，它代表SdH振荡振幅A除以在固定磁场下测量的温度。标准SdH拟合产生有效质量。右插图是在不同栅极电压下获得的有效质量图。虚线符合文中描述的单参数模型，该模型得出v_F = 1.1 × 10⁶ m s^-1，与公布的值合理一致。b，不同栅极电压下SdH振荡的扇形图。R_xx的第n个最小值（最大值）的1/B的位置，从B = B_F开始计数，相对于n (n + 1/2)绘制。这些线对应于线性拟合，其中斜率（下图）表示B_F ，n轴截距（上图）提供了石墨烯磁振荡中Berry相位的直接探测。误差线表示拟合误差的标准偏差。

在SdH扇图中观察到的非零Berry相位与Dirac点的消失质量有关。通过使用标准SdH形式，可以从低B场下发展良好的SdH振荡的温度依赖性中提取该有效载流子质量m_c（图3a，左图）。事实上，在不同栅极电压下的分析产生了Dirac点附近m_c的强抑制。而高密度（n_s∼5 × 10¹² cm^-2）载气显示m_c∼0.04m_e，质量在Dirac点（n_s∼2 × 10¹¹ cm^-2）附近下降到m_c∼0.007m_e，其中m_e是自由电子的质量。总的来说，观测到的依赖于栅极电压的有效质量可以通过使用v_F作为唯一的拟合参数来拟合到一个虚构的“相对论性”质量：m_c = E_F / v_F²= √(πℏ²n_s / v_F²)（图3a，右插图）。根据Berry的相位论证，这个过程外推到Dirac点的消失质量。